Guia de Ejercicios sobre Teoria de Conjuntos

Guia de Ejercicios sobre Teoria de Conjuntos

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Definir por extensión cada uno de los siguientes conjuntos:

1.  F = { x ∈ R/ x ^2  = x }
2. A= { X ∈ Z / x ^2 =1}
3. Y = {x/x ∈  N /x >8}
4. D = {x / x es una letra de la palabra programador}
5. E = { x / x es un numero reral y x^2  =0}

Solucion

1. F es el conjunto formado por todas las X que pertenecen a los números reales talque x ^2  =x. La condición es x ^2  = x, al sustituir X por números nos quedaría de esta manera.

0 ^2  = 0,

1 ^2  = 1,

2 ^2  = 4 ya no cumple la condición. Por ello F = {0,1} .

2. A es el conjunto de formado por todas las X que pertenecen a los números enteros talque x ^2 =1. La condición es x ^2 =1, al sustituir X por números quedaría de esta manera.

-1^2 = -1, si cumple

0^2 = 0, no cumple

1 ^2 = 1, si cumple 

1 ^2 = 4 no cumple

Por ello  A= {-1,1}

3. Y es el conjunto de todos los valores x donde x pertece a los numeros naturales tal que x mayor que 8. La condición es X > 8. Vamos a dar valores a X para determinar si cumple la condición establecida.

4 > 8 no cumple,

6 > 8 no cumple,

9 > 8 si cumple,

10 > 8 si cumple

De esta manera nuestro conjunto por extension queda de la siguiente manera

                                   Y = {9,10,…,}

4. D = {p,r,o,g,r,a,m,a,d,o,r}

5. E = {0}

0^2  =0  cumple.

1^2  =1 no cumple.

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Sean los conjuntos A= {1, 3, 4, 5}, B= {3, 4, 5 6} , C = {3, 4, 5} y D = {1, 2, 3, 4, 5, 6 ,7} . Indica cuáles de las afirmaciones siguientes son ciertas.

Nota : Se dice que un conjunto “A” esta incluido en otro “B”,

cuando todo elemento de A, pertenece a B.

• A ⊂ B, se lee “A esta incluido en B” o “ B contiene a A”
• B ⊂ A, se lee “ B esta incluido en A”
• D ∈ A, se lee “ D pertece A”, es falso porque esta relacion solo se puede realizar entre elemento a conjunto.
• C ⊂ D, se lee “ C esta incluido en D”, correcto.

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Operaciones entre Conjuntos

Unión

La unión de conjunto A y B es el conjunto formado por los elementos que pertenecen a A, a B o a ambos.

Sean los conjuntos A = {a,b,c,d}, B = {d,e,f,g,h} y C ={a,b,i,j} , determine A U B, B U A y C U B.

Solución

                        A U B

A = {a,b,c,d,e,f,g,h}, se puede notar que en ambos conjutos se repite la letra d ,  pero solo una  ves se une al conjunto A, es decir no permite repetir elementos.

                        B U A 

B = {a,b,c,d,e,f,g,h }, el resultado es el mismo porque una de las propiedad mas sobresaliente de esta operación es conmutativa, es decir  que A U B = B U A.

  C U B

            C = {a,b,i,j,d,e,f,g,h}

Intersección

Dados lo conjuntos A y B, se llama intersección al conjunto formado por los elementos que pertenecen a A y B a la vez; es decir es el conjunto formado por los elementos comunes a A y B.

Datos los conjuntos A = {3,4,5,6}, B ={5,6,7,8} y C ={8,9,10,11}, calcular A ∩ B, B ∩ A, C ∩ A y B ∩ C.

Solución

ü  A ∩ B

   A = {5,6}, 5 y 6 son los elementos que tienen en comun  ambos conjuntos.

ü  B ∩ A

               B = {5,6}

ü  C ∩ A 

         C = {}  ó  C  ∩ A = ∅ , es conjunto vacio ya que no tienen ningun elemento en común.

ü  B ∩ C

          B = {8}

Diferencia

La diferencia de dos conjuntos A y B, que se escribe A - B, se define como el conjunto formado por los elementos A que no pertenecen a B.

Sean los conjuntos A = { 2, 4, 6, 8, 10 } y B = { 1, 2, 3, 4, 5}.

Solución

¿Cuál es la diferencia de A - B?

A – B = {6,8,10}, elementos que solo estan en A y que no estan en B.

¿Cuál es la diferencia de  B - A?

            B – A ={1,3,5}