Operaciones y Relaciones entre conjuntos.

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Introducción:
Para la representación entre conjuntos utilizaremos las letras A,B,C,… y para la representación de elementos u objetos utilizaremos las letras minúsculas a,b,c,…
Para la representación de conjuntos es simple lógica llámese conjuntos a las letras mayúsculas A y los elementos las letras a minúsculas entonces para representar “A es el conjunto que contiene los elementos a,b, c”, seria:

A= {a,b,c}

Las llaves encierran as listas de los elementos del conjunto y cada elemento del conjunto lo separamos por comas.
Para la representación de elementos que forman un conjunto, se puede expresar de tres maneras:

• Lenguaje Natural: Cuando expresamos el conjunto de manera común, por ejemplo: El conjunto de árboles, el conjunto de estudiantes, etc.
• Por Expresión: Cuando expresamos el conjunto nombrando cada uno de sus elementos entre corchetes, Ejemplo: A= {1, 2, 3, 4}, D= {a, b, c, d}.
• Por Comprensión: Cuando expresamos el conjunto mediante alguna propiedad de los elementos del conjunto. Ejemplo: A= {x|x es un triangulo}, : C= {y|y es una persona}.

Operaciones entre conjuntos.

Unión de conjuntos: Es la reunión de todos los elementos de dos o más conjunto y se representa de la siguiente manera: A ∪ B.
De manera formal se define: A ∪ B = {x|x ∈ A o x ∈ B}.

Ejemplo:
A= {a, b, c, d} B= {e, f}
A ∪ B = {a, b, c, d, e, f}.

Intercepción de conjuntos: Es el conjunto formado por los elementos que tienen en común los conjuntos operados y se representa de la siguiente manera: A ∩ B.
De manera formal se define: A ∩ B= {x|x ∈ A y x ∈ B}.

Ejemplo:
A= {a, b, c, d} B= {d, e}
A ∩ B= {d}

Si en todo caso no tuvieran ningún elemento en común entonces se expresaría:

A= {a, b, c, d} B= {e, f}
A ∩ B= { ∅}.

Llámese al signo o símbolo “∅” conjunto al vacío, se representa en conjuntos como el símbolo que delega que no existe ningún elemento por escribir, ya que 0 (cero) puede ser expresado como un elemento.
Diferencia de conjuntos: Sea A y B dos conjuntos, la diferencia entre A y B es el conjunto formado por todos los elementos que pertenece a A y que no pertenece a B y se representa de la siguiente manera: A - B.
De manera formal se define: A - B = {x|x ∈ A y x ∉ B}.

Ejemplo:
A= {a, b, c, d} B= {a, b, e, f}
A - B = {c, d}.
B - A = {e, f}.

Relaciones entre conjuntos.

Relación de pertenencia:

Para indicar que un objeto es un elemento de un conjunto se utiliza el símbolo ∈, Por lo que la representación se expresa mediante la notación siguiente:

a ∈ A

Lo que significa que un objeto o elemento a pertenecer a un conjunto A; sino pertenece al conjunto A entonces se expresa de la siguiente manera:

a ∉ A

Para elementos o conjuntos que sean iguales lo representaremos con el signo “=” ya que esto significa identidad lógica, por ejemplo si escribimos A = B estamos expresando que A y B son símbolos distintos pero representan el mismo conjunto, por lo que se puede decir que dos conjuntos son iguales si están formados exactamente por los mismos elementos.
Y si A y B son conjuntos distintos entonces se expresara bajo la notación: A ≠ B ya sea A, el conjunto de los números naturales y B el conjunto de números enteros, entonces claramente A ≠ B.

Relación de inclusión:

Para la expresión de subconjunto, se precisa de aclarar que se representa cuando un conjunto contiene los elementos de otro conjunto, y se representa con A ⊆ B
Por ejemplo, cuando A= {1, 2, 3, 4} B= {1, 2}

A ⊆ B

Por contrariedad y si A es un subconjunto de B y además son conjuntos diferentes entonces diremos que A es un subconjunto propio de B y se denota de la siguiente manera:

A ⊊ B