Una historia de la Teoría de Conjuntos

Una historia de la Teoría de Conjuntos

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Cuando hablamos de La historia de la teoría de conjuntos es bastante diferente comparada con la historia de la mayoría de las otras áreas de las matemáticas porque no se manejan con simples problemas. Para la mayoría de las áreas por lo general se puede rastrear un largo proceso en el que las ideas evolucionan hasta alcanzar un resplandor final el cuales comprobado según la posibilidades que existan, a menudo por un número de matemáticos casi simultáneamente, produciendo un descubrimiento de gran importancia.

La teoría de conjuntos sin embargo, es bastante diferente. Su creación se debe a una sola persona, Georg Cantor. Antes de adentrarnos en la historia principal del desarrollo de la teoría de Cantor, primero examinamos algunas atribuciones  preliminares que surgieron.

Georg Cantor

Cuando se establece La idea de infinito había sido objeto de una considera reflexión desde la época de los griegos. Zenón de Elea, alrededor de 450 aC, con sus problemas en el infinito, hizo una importante contribución. Por lo cual en la Edad Media, la discusión  que se formaron por discutir del infinito había dado lugar a la comparación de conjuntos infinitos lo cuales generaban más interrogantes y lo cual permitió llegar una conclusión. Por ejemplo Alberto de Sajonia, en Questiones subtilissime in libros de celo et mundi, en el cuales se demuestra que un haz de longitud infinita tiene el mismo volumen que el 3-espacio. Él demuestra esto cortando el haz en trozos imaginarios que luego se ensamblan en capas concéntricas sucesivas que llenan el espacio.

Bolzano fue un filósofo y matemático de pensamiento profundo. En 1847 él consideró a los conjuntos con la siguiente definición:

• Una realización de la idea o concepto que concebimos cuando consideramos la disposición de sus partes como una cuestión de indiferencia.

Por lo cual sabiendo esto según la historia dicta que Bolzano defendió el concepto de conjunto infinito. En esa época muchos creían que no podían existir los conjuntos infinitos. Bolzano dio ejemplos para demostrar que, a diferencia de los conjuntos finitos, los elementos de un conjunto infinito podrían ponerse en correspondencia uno a uno con elementos de uno de sus subconjuntos propios. Esta idea eventualmente llegó a usarse en la definición de un conjunto finito.

Fue con el trabajo de Cantor no obstante, que la teoría de conjuntos se estableció sobre una base matemática adecuada. Los primeros trabajos de Cantor fueron en teoría de números y publicó una serie de artículos sobre este tema entre 1867 y 1871. Estos, aunque de gran calidad, no dan indicios de haber sido escritos por un hombre que estaba a punto de cambiar el curso de las matemáticas.

Bernard Bolzano

En su artículo de 1874 Cantor considera al menos dos tipos diferentes de infinito. Anteriormente no existían estos órdenes de infinito, todas las colecciones infinitas eran consideradas 'del mismo tamaño'. Sin embargo Cantor examina el conjunto de números reales algebraicos, que se puede considerar como el conjunto de todas las raíces reales de ecuaciones de la forma

anxn+an−1xn−1+an−2xn−2+⋯+a1x+a0=0

Donde an es un número entero. Cantor demuestra que los números reales algebraicos están en correspondencia uno a uno con los números naturales de la siguiente manera.

Para una ecuación de la forma anterior definamos su índice como

|an|+|an−1|+|an−2|+⋯+|a1|+|a0|+n.

Sólo hay una ecuación de índice 2, es decir, x=0. Hay 3 ecuaciones de índice 3, a saber,

2x=0, x+1=0 ,x−1=0 y x2=0.

Estos dan raíces 0, 1, -1. Para cada índice sólo hay un número finito de ecuaciones y tan sólo un número finito de raíces. Realizar una correspondencia uno a uno con los números naturales es ahora sencillo, pero ordenándolos por orden de índice y magnitud creciente dentro de cada índice.

En el mismo artículo Cantor muestra que los números reales no se pueden poner en correspondencia uno a uno con los números naturales utilizando un argumento con intervalos anidados, el cual es un argumento más complejo comparado con el que se usa en la actualidad (que es de hecho debido a Cantor publicado en un artículo posterior de 1891). Cantor enfatiza entonces que esto demuestra un teorema establecido por Liouville, a saber, que hay infinitos números trascendentes (es decir, no algebraicos) en cada intervalo.

Joseph Liouville

En 1885 Cantor continuó extendiendo su teoría de los números cardinales y de tipos de órdenes. Extendió su teoría de tipos de órdenes para que sus números ordinales definidos previamente se convirtieran en un caso especial. En 1895 y 1897 Cantor publicó su doble tratado final sobre la teoría de conjuntos, el cual contiene una introducción que bien parece un libro moderno de la teoría de conjuntos y define el concepto de conjunto, subconjunto, etc. Cantor demuestra que si A y B son conjuntos con A equivalente a un subconjunto de B y B equivalente a un subconjunto de A, entonces A y B son equivalentes. Este teorema también fue probado por Felix Bernstein y, también, de forma independiente por E. Schröder.

Felix Bernstein

En 1897 la primera paradoja en teoría de conjuntos apareció y fue publicado por Cesare Burali-Forti. Algunos de los efectos de esta paradoja se perdieron ya que Burali-Forti consideró la definición de un conjunto bien ordenado de forma errónea. Sin embargo, incluso cuando la definición se corrigió, la paradoja se mantuvo. Básicamente esta paradoja gira alrededor del conjunto de todos los números ordinales.

Cesare Burali-Forti

En 1899 Cantor descubrió otra paradoja que surge del conjunto de todos los conjuntos. ¿Cuál es el número cardinal del conjunto de todos los conjuntos? Es evidente que debe ser el mayor cardinal posible pero el cardinal del conjunto de todos los subconjuntos de un conjunto siempre tiene un cardinal mayor que el propio conjunto. De esta manera, parecía que la crítica de Kronecker podría haber sido correcta, ya que la extensión del concepto de conjunto más allá de lo finito parecía producir paradojas. La 'última' paradoja fue encontrada por Russell en 1902 (también descubierta por Zermelo de forma independiente). Definamos un conjunto

A={X | X no es un miembro de X}.

Russell entonces se preguntó: ¿Es A un elemento de A? Tanto el supuesto de que A es un miembro de A y que A no es un miembro de A conllevan a una contradicción. La propia construcción del conjunto parece dar una paradoja.

Russell escribió a Frege acerca de esta paradoja, quien estaba por terminar su principal tratado sobre los fundamentos de la aritmética. Frege añadió un análisis de esta paradoja a su tratado.

Un científico difícilmente puede encontrarse con algo más indeseable que ver sucumbir los cimientos de su teoría justo cuando su trabajo está terminado. En esta posición estuve debido a una carta del Sr. Bertrand Russell cuando mi trabajo estaba casi por publicarse.

Bertrand Russell

En esta etapa, sin embargo, la teoría de conjuntos estaba empezando a tener un impacto importante en otras áreas de las matemáticas. Lebesgue definió 'medida' en 1901 y en 1902 definió la integral desde otro punto de vista (actualmente conocida como integral de Lebesgue) usando conceptos de la teoría de conjuntos. El Análisis necesitaba la teoría de conjuntos de Cantor, el cual no podía permitirse el lujo de limitarse a las matemáticas intuicionistas en el espíritu de Kronecker. En lugar de descartar la teoría de conjuntos, debido a las paradojas, se buscaron maneras de mantener las características principales de la teoría de conjuntos para eliminar las paradojas.

¿Las paradojas provienen del Axioma de Elección? Cantor había utilizado el Axioma de Elección sin considerar que era necesario darle un tratamiento especial. La primera persona que utilizó de manera explícita este axioma parece haber sido Peano en 1890 al realizar una demostración de la existencia de soluciones de un sistema de ecuaciones diferenciales. De nuevo en 1902 fue mencionado por Beppo Levi, pero el primero en introducir formalmente el axioma fue Zermelo cuando demostró, en 1904, que cada conjunto puede ser bien ordenado. Cantor había conjeturado este teorema. Émile Borel señaló que el axioma de elección es de hecho equivalente al teorema de Zermelo.

Gödel demostró, en 1940, que el axioma de elección no se puede demostrar con los otros axiomas de la teoría de conjuntos. No fue sino hasta 1963 que Paul Cohen demostró que el Axioma de Elección es independiente de los otros axiomas de la teoría de conjuntos.